Исследовать показательную функцию и построить график. Общий план исследования функций и построения графиков. Алгоритм отыскания асимптоты графика

Решебник Кузнецова.
III Графики

Задание 7. Провести полное исследование функции и построить её график.

        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 3. Часть вариантов заархивированы в формате.rar

        7.3 Провести полное исследование функции и построить её график

Решение.

        1) Область определения:         или        , то есть        .
.
Таким образом:         .

        2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений.
Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .

        3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.
Видим, что         и        .

        4) Функция непрерывна в области определения
.

; .

; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

5) Вертикальные асимптоты:        

Найдём наклонную асимптоту        . Здесь

;
.
Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0 . Наклонных асимптот нет.

        6) Найдём первую производную. Первая производная:
.
И вот почему
.
Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
.

        7) Найдём вторую производную. Вторая производная:
.
И в этом легко убедится, так как

Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график .

Каждый студент прошел через подобные задачи.

Дальнейшее изложение предполагает хорошее знание . Рекомендуем обращаться к этому разделу при возникновении вопросов.

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.



(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).

Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты , если в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются .

Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:


Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.

Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной , если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной , если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy .

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными .

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).

Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

• во-первых, находим производную;
• во-вторых, находим критические точки;
• в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
• в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Поехали!

Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел ).


Находим критические точки, для этого:

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.


Делаем вывод:

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.

Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

• во-первых, находим вторую производную;
• во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
• в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
• в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Поехали!

Находим вторую производную на области определения.


В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.



Делаем вывод:

Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .

Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной .

Кто такие вообще эти асимптоты?

Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.

Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

Для нашего примера

- горизонтальная асимптота.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 , х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4.


Построение графика.

Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).


Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.


Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.

Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием графиков основных элементарных функций.

РЕФЕРАТ

«Полное исследование функции и построение её графика».

ВВЕДЕНИЕ

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Возрастание и убывание функции

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами.

Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа.

Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.).

Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. Исходя из определения монотонно убывающей и возрастающей функции, можно сформулировать теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1 . Если функция y = f ( x ) , дифференцируемая на интервале ( a , b ) , монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке
( x ) >0; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала ( x )<0.

Доказательство. Пусть функция y = f ( x ) монотонно возрастает на ( a , b ) , значит, для любого достаточно малого > 0 выполняется неравенство:

f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Рассмотрим предел

.

Если > 0, то > 0, если < 0, то

< 0.

В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть ( x )>0 , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Теорема 1.2 . Если функция y = f ( x ) , непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, ( x ) >0 для любого x ϵ ( a , b ) , то данная функция монотонно возрастает на ( a , b ) ; если

( x ) <0 для любого xϵ ( a , b ), то данная функция монотонно убывает на ( a , b ) .

Доказательство. Возьмем ϵ ( a , b ) и ϵ ( a , b ) , причем < . По теореме Лагранжа

( c ) = .

Но ( c )>0 и > 0, значит, ( > 0, то есть

(. Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Экстремумы функции

При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.

Определение 2.1 . Точка называется точкой максимума функции

y = f ( x ) , если для любого, сколь угодно малого , ( < 0 , а точка называется точкой минимума, если ( > 0.

Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая на интервале ( a , b ) функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума .

Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля, в которой было показано, что в точках минимума или максимума = 0, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси OX .

Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция y = f ( x ) имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где = 0.

Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции y = в точке x = 0 производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции y = | x | есть минимум в точке x = 0 , хотя производная в этой точке не существует.

Определение 2.2 . Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции .

Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.

Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на интервале ( a , b ) , который содержит ее критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума .

Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.

Определение 3.1 . Функция y = f ( x ) называется выпуклой на промежутке ( a , b ) , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке .

Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Теорема 3.1 . Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции ( x ) непрерывна и отрицательна, то функция y = f ( x ) выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута .

Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку ϵ ( a , b ) и проведем в этой точке касательную к графику функции y = f ( x ) (рис. 3.1).

Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке ( a , b ) лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений x ординаты кривой y = f ( x ) меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .

Рис. 3.1

Для определенности обозначим уравнение кривой: = f ( x ) , а уравнение касательной к ней в точке :

- f ( ) = ( )( x - )

или

= f ( ) + ( )( x - ) .

Составим разность и :

- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).

Применим к разности f ( x ) – f ( ) теорему о среднем Лагранжа:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

где ϵ ( , x ).

Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:

- = ( )( - )( x - ) , где ϵ ( , ).

Как видно из рисунка, x > , тогда x - > 0 и - > 0 . Кроме того, по условию теоремы, ( )<0.

Перемножая эти три множителя, получим, что , что и требовалось доказать.

Определение 3.2 . Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба .

Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.

Теорема 3.2 . Если в точке вторая производная функции

y = f ( x ) равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба .

Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки ( x ) по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.

4. Асимптоты функции

В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.

Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.

Определение . Асимптотой графика функции y = f ( x ) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат .

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

К вертикальным асимптотам относятся прямые линии x = , которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: .

Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой x = стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например, y = в точке x = 0 . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.

Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть y = kx + b . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа k и b .

Итак, пусть кривая = f ( x ) имеет наклонную асимптоту, то есть при x точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой = kx + b (рис. 4.1). Пусть M ( x , y ) - точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра | MN | .

Одна из возможных схем исследования функции и построения се графика разлагается на следующие этапы решения задачи: 1. Область определения функции (О.О.Ф.). 2. Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты. 3. Четность, нечетность, периодичность функции. 4. Точки пересечения графика с осями координат. 5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты. 6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 7. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба. 8. График функции. Пример 1. Построить график функции у = 1 . (верэиора или локон Марии Аньеэи). - вся числовая ось. 2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет. 3. Функция четная: , так что график ее симметричен относительно оси Оу\ непериодическая. Из четности функции следует, что достато^о построить ее график на полупрямой х ^ О, а затем зеркально отразить его в оси Оу. 4. При х = 0 имеем Ух, так что график функции лежит в верхней полуплоскости у > 0. Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных что график имеет горизонтальную асимптоту у = О, наклонных асимптот нет. Так то функция возрастает при и убывает, когда. Точка х = 0 - критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у"(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка х = 0 - точка максимума, y(Q) = I. Результат этот достаточно очевиден: /(х) = T^IV*. Вторая производная обращается в нуль в точках х = . Исследуем точку х = 4- (далее соображение симметрии). При имеем. кривая выпукла вниз; при получаем (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = = - - точка перегиба графика функции. Результаты исследования сведем в таблицу: Точка перегиба max Точка перегиба В таблице стрелка У» указывает на возрастание функции, стрелка «\» - на ее убывание. График функции изображен на рис. 33. Пример 2. Построить график функции (трезубец Ньютона). - вся числовая ось, исключая точку 2. Точка разрыва функции. Имеем так что прямая х = 0 - вертикальная асимптота. 3. Функция не является ни четной, ни нечетной [функция общего положения), непериодическая. Полагая получаем график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0). наклонных и гори- зонтальных асимптот нет. откуда критическая точка. Вторая производная функции в точке, так что х = - точка минимума. Вторая производная обращается в ууль в точке и меняет свой знак при переходе через эту точку. Следовательно, точка - точка перегиба кривой. Для) имеем е. выпуклость кривой направлена вниз; для -I имеем. выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Точка перегиба Не существует. Вертикальная асимптота торая производная обращается в нуль при х = е,/2. и при переходе х через эту точку у" меняет знак Следовательно, - абсцисса точки перегиба кривой. Результаты исследования сводим в таблицу: Точка перегиба. График функции изображен на рис. 37. Пример 4. Построить график функции вся числовая ось, исключая точку Точка точка разрыва 2-го рода функции. Так как Km . то прямая вертикальная асимптота графика функции. Функция общего положения, непериодическая. Полагая у = 0, имеем, откуда так что график функции пересекает ось Ох в точке Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту Из условия получаем - критическая точка. Вторая производная функции у" = Д > 0 всюду в области определения, в частности, в точке - точка минимума функции. 7. Поскольку, то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлена вниз. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует. х = 0 -вертикальная асимптота График функции изображен на рис. Пример 5. Построить график функции вся числовая ось. 2. Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет. 3. Общего положения, непериодическая. 4. Функция обращается в нуль при 5. Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту Производная обращается в нуль в точке и не существует при. При переходе х через точку) производная не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет. При переходе точки х через точку производная) меняет знак с « + » на Значит в функция имеет максимум. При переходе х через точку х = 3 (х > I) производная у"(х) меняет знак т. е. в точсе х = 3 функция имеет минимум. 7. Находим вторую производную Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Вторая производная у"(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у" меняет знак с + на так что точка (0,0) кривой - точка перегиба с вертикальной касательной. В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует Не существует Точка перегиба (0.0) с вертикальной касательной График функции представлен на рис. 39. §7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора. Теорема It. Пусть функция /(х) в некоторой окрестности точки xq имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке хо- Пусть 0. Тогда если число п - нечетное, то функция f{x) в точке х0 не имеет экстремума; когда же п - четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если /(п)(х0) < 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, что в интервале, разность - /(х0) сохраняет знак. По формуле Тейлора как по условию, то из (1) получаем 1оусловию/(п*(г) непрерывна вточкего и Ф Поэтому в силуустойчивости нака непрерывной функции существует такое, что в интервале () не меняется и совпадает со знаком /(п)(хо). Рассмотрим возможные случаи: 1) п - четное число и / Тогда I потому в силу (2) . Согласно определению это означает, что точка го есть точка минимума функции /(г). 2) п - четное и. Тогда будем иметь i вместе с этим и Поэтому точка го будет в этом:лучае точкой максимума функции /(г). 3) п - нечетное число, /- Тогда при х > х0 знак >удет совпадать со знаком /(п)(го), а при г го будет противоположным. Поэтому 1ри сколь угодно малом 0 знак разности /(г) - /(го) не будет одним и тем же 1ля всех х е (го - 6, го + £). Следовательно, в этом случае функция /(г) в точке го жстремума не имеет. Пример. Рассмотрим функции Л Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = х4 первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: Таким образом, здесь п = 4 - четное и. Следовательно, в точке х = 0 функция у = х4 имеет минимум. Для функции у = х} первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная 3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 - нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума не имеет. Замечание. С помошью формулы Тейлора можно доказать следующую теорему, выражающую достаточные условия точки перегиба. "еорема 12. Пусть функция /(г) в некоторой окрестности точки г0 имеет производп-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть, но /(п)(*о) Ф 0- Тогда, если п - нечетное число, то точка Мо(х0, f(xо)) есть точка перегиба графика функции у = f(x). Простейший пример доставляет функция. §8. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]; 2) числа /(а) и f{b) противоположны по знаку: 3) на отрезке [а, 6] существуют производные f"(x) и f"(x), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак. Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано-Коши (с. 220) следует, что функция /(ж) обращается в нуль по крайней мере в одной точке £ € (а, Ь), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень £ в интервале (а, 6). Так как в силу условия 3) производная /"(х) на [а, Ь\ сохраняет постоянный знак, то f(x) монотонна на [а, Ь] и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только один действительный корень Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного действительного корня £ € (а, 6) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны четыре случая (рис. 40): 1) Рис. 40 Возьмем для определенности случай, когда f\x) > 0, f"(x) > 0 на отрезке [а, 6) (рис.41). Соединим точки А(а, /(а)) и В(Ь, f(b)) хордой А В. Это отрезок прямой, проходящей через точки А и В, уравнение которой Точка aj, в которой хорда АВ пересекает ось Ох, расположена между аи(и является лучшим приближением к чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем Из рис. 41 нетрудно заметить, что точка а\ будет всегда расположена с той стороны от в которой знаки f(x) и f"(x) противоположны. Проведем теперь касательную к кривой у = /(х) в точке B(b, f(b)), т. е. в том конце дуги ^АВ, в котором f(x) и /"(я) имеют один и тот же знак. Это существенное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню. Точка Ь\, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между £ и b с той же стороны, что и 6, и является лучшим приближением к чем Ь. Касательная эта определяется уравнением Полагая в (3) у = 0, найдем Ь\: Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Таким образом, имеем Пусть абсолютная погрешность приближения С корня £ задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений aj и 6, корня £ можно взять величину |6i - ai|. Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок за исходный, найдем следующие приближения корня где. Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений Последовательности {ап} и {bn} монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1 единственному корню уравнения / Пример. Найти корень (уравнения г2 - 1=0 на отрезке . Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня (уравнения х2 - 1 = 0 на отрезке . и метод должен сработать. 8 нашем случае а = 0, b = 2. При п = I из (4) и (5) находим При п = 2 получаем что дает приближение к точному значению корня (с абсолютной погрешностью Упражнения Постройте графики функций: Найдите наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках: Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков: Ответы